Le Nombre d'or

Le nombre d'or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire lorsque (a+b)/a = a/b.

Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi) en l'honneur du sculpteur Phidias qui l'aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.

Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x² = x + 1. Il vaut exactement :

soit approximativement 1,618 033 989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d'or. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et permettent de définir une « arithmétique du nombre d'or » , cadre de nombreuses démonstrations.

L'histoire de cette proportion commence à une période reculée de l'antiquité grecque. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme divine proportion en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des XIX^e et XX^e siècles où naissent les termes de section dorée et de nombre d'or.

Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les étamines du tournesol ou dans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme une clé explicative du monde, particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre scientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique.

Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de cette vision, soutenue par des livres très populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes.

Définition de la proportion d'or — Deux longueurs strictement positives a et b respectent la proportion d'or si et seulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a :

Les historiens considèrent que l'histoire du nombre d'or commence lorsque cette valeur est l'objet d'une étude spécifique. Pour d'autres, la détermination d'une figure géométrique contenant au moins une proportion se calculant à l'aide du nombre d'or suffit. La pyramide de Khéops (vers 2520 av. J.-C.) devient, selon cette convention, un bon candidat pour l'origine. D'autres encore, se contentent des restes d'un monument dont des dimensions permettent d'approximer le nombre d'or. Selon ce critère, un amas de pierres sous la mer des Bahamas est une origine plus ancienne. Ces vestiges, dont l'origine humaine et la datation sont incertaines sont dénommés temple d'Andros.

Les dimensions de La Naissance de Vénus de Sandro Botticelli respectent assez précisément la divine proportion. Il est pourtant très peu probable que cela indique une quelconque volonté de l'auteur.

Une organisation autour d'un schéma pentagonal des atomes d'un cristal de quartz explique l'usage du nombre d'or pour l'étude d'un tel minéral.

En minéralogie, il existe des cristaux dont les atomes s'organisent selon un schéma pentagonal. Les proportions entre les côtés et les diagonales du pentagone font intervenir le nombre d'or. Il est aussi présent dans des structures dites quasi cristallines. Les atomes dessinent des triangles d'or qui remplissent l'espace sans pour autant présenter de périodicité, on obtient un pavage de Penrose. Pour la même raison que précédemment, le nombre d'or est présent et l'on retrouve la suite de Fibonacci. Le pentagone n'est pas présent dans tous les cristaux. La structure cubique à faces centrées d'un diamant ne fait pas intervenir le nombre d'or.



La pyramide de Kheops convainc un public plus vaste. Cet exemple est cité depuis le milieu de XIX^e siècle, une époque où la méconnaissance presque totale de l'égyptologie donne naissance à d'innombrables mythes. La coïncidence entre les dimensions de la pyramide et le nombre d'or est ici excellente. Le rapport entre la longueur de la plus grande pente d'une des faces et la demi-longueur d'un côté correspond au nombre d'or avec une précision de moins de 1 %.



Une pomme de pin illustre par ses écailles un phénomène de phyllotaxie. On trouve des spirales dont la proportion est proche de celle d'Euclide. Le nombre d'écailles dans une spirale ainsi que le nombre de spirales correspond à deux nombres consécutifs dans la suite de Fibonacci.

Le mécanisme ne fait pas toujours apparaître le nombre d'or. Pour l'Achimenes erecta, on remarque ici trois jeux de trois feuilles. Chaque jeu est pivoté d'un sixième de tour par rapport à la génération précédente. On obtient encore deux jeux de spirales, mais qui n'ont plus rien à voir avec le nombre d'or.

Source Wikipédia